APROXIMACION Y ERROR POR REDONDEO

Entender el concepto de ERROR es importante para usar de manera efectiva los métodos numéricos. Estos métodos numéricos son el corazón de la Unidad Curricular Cálculo Numérico, ya que la misma gira en torno al aprendizaje de los mismos para la formulación de problemas matemáticos. El análisis numérico estudia cómo un problema es resuelto numéricamente, parte de este proceso es considerar los errores que aparecen en estos cálculos, si son de redondeo o de otra fuente. 

Aunque con la técnica numérica se puede obtener una aproximación a la solución exacta analítica, existe cierta discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos son sólo una aproximación. Pocas veces, somos afortunados al disponer de la solución analítica y calcular el error en forma exacta. Pero para muchos problemas de aplicación no se puede obtener una solución analítica, por lo tanto no podremos calcular con exactitud los errores asociados con nuestros métodos numéricos. En esos casos debemos resolver por aproximación o estimar los errores. Pero ante este panorama vale la pena preguntarse ¿qué tanto error se presenta en los cálculos y qué tan tolerables es? Para ello es necesario estudiar la información referente a la cuantificación de errores; los errores más comunes: el de redondeo y el de truncamiento, entre otros.

Definiciones de Error: los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo. 

El error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. 

Los errores de redondeo se asocian con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora. 

Cifras significativas: Son aquellas que llevan la información real a cerca del tamaño del número aparte de su porción exponencial. Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal.

Ejemplos: 

v 8632574 redondeado a (4cs) es 8633000

v 3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159

v 8,5250 redondeado a (2d) es 8,53

v 1,6750 redondeado a (2d) es 1,68

v 4,53 x 104 tiene 3 cifras significativas

v 4,530 x 104 tiene 4 cifras significativas

v 4,5300 x 104 tiene 5 cifras significativas

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos: 

Como ya se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiable son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas

Aunque ciertas cantidades como los números irracionales pi, o e (euler), representan cantidades específicas, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos, las computadoras retienen sólo un número finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas es lo que hemos llamado error de redondeo.

Para minimizar el error de redondeo en cifras se utiliza el siguiente proceso 

Sea a1, a2, a3, a4, a5, ...

Para redondear a “n” decimales es decir cortar hasta an:
Si el número an+1 > 5, entonces an + 1 (an se incrementa en uno)
Si el número an+1 < 5, entonces an queda igual
Si el número an+1 = 5,

c1) si an es par, este queda igual : an

c2) si an es impar, se le suma uno: an + 1
Si an+1 = 4 y an+2 >5, entonces an+1 = an+1 + 1, luego se aplica c)

Ejemplos:

0,283049 redondeado a (4d) es 0,2830 (el cero se toma como un número par)

0,283149 redondeado a (4d) es 0,2832

0,314156739 redondeado a (4d) es 0,3142 redondeado a (5d) es 0,31416

3,216545 redondeado a (4d) es 3,2165

Exactitud y Precisión: los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Para poder disminuir los errores cometidos en las aproximaciones numéricas, es necesario aumentar tanto la exactitud como la precisión de manera simultánea para poder llegar a la solución requerida, es decir, se deben ir comparando las diferentes aproximaciones obtenidas entre sí y a la vez con la solución exacta del problema.

Para los dos tipos de errores antes mencionados, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:

Valor verdadero (Vv) = Aproximación + Error

Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el error verdadero o absoluto es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Ev = Vv – aproximación 

Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en el error relativo 

Si este error se multiplica por el 100% se obtiene el porcentaje de Error relativo el cual se expresa como

(Aquí ER representa el % de error)

Para los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se hable de funciones que pueden resolverse analíticamente. Por lo general éste no será el caso cuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin embargo, en muchas aplicaciones en ingeniería no es posible obtener soluciones analíticas; por lo tanto, no se puede calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos. En estos casos, debemos usar aproximaciones o estimaciones a los errores, siendo una alternativa, normalizar el error usando la mejor estimación posible del valor verdadero; esto es, para la aproximación misma como en 

Donde el subíndice “a” significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados. En tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva más y mejores aproximaciones. En tales casos el error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el porcentaje de error está dado por

En numerosos cálculos numéricos, es probable que un procedimiento se detenga cuando cierto valor tiene a cero (por ejemplo una diferencia en un problema de convergencia). Sin embargo es difícil obtener un valor exactamente nulo por los problemas de aproximación y de imprecisión en los cálculos. Para remediar esto se suele detener los procedimientos cuando el valor es sumamente pequeño. Este valor lo denotaremos como (epsilon).

Los signos de las ecuaciones (2) – (6) pueden ser positivos o negativos. A menudo cuando se realizan los cálculos pueden no importar mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que la tolerancia prefijada e. Por lo tanto, con frecuencia resulta útil emplear un valor absoluto en las ecuaciones (2) – (6). En tales casos los cálculos se repiten hasta que

|Ea| <  E

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable previamente fijado. Es conveniente relacionar también estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación, se puede demostrar que 

E = (0,5 x 102 –n)% (8) 

Donde n es el número de cifras significativas. En este caso se tiene que la aproximación que se obtenga con un margen de error fijado por esta ecuación, será exacta en el número de cifras significativas con las que se ha calculado previamente dicha tolerancia.

NOTA:la letra E= Tolerancia

POLINOMIO DE TAYLOR

El Teorema de Taylor es una herramienta fundamental, útil y necesaria para el desarrollo y la comprensión de la mayoría de los métodos numéricos que vamos a estudiar.

Si P es una función polinómica

P(x)=a_o+a₁x+…+a_nxⁿ

Entonces P(x) puede calcularse fácilmente cualquiera sea el número x. Pero la mayoría de las funciones matemáticas no se pueden evaluar en términos de las operaciones elementales aritméticas, por ejemplo:

f(x) = Cos x ó f(x)= Ln x, las cuales no pueden ser evaluadas sin el uso de una calculadora o mejor aún, de una computadora.

Para poder evaluar este tipo de funciones usamos funciones f*(x) casi iguales a f(x), que son fáciles de evaluar. Las f*(x) más comunes son los polinomios dentro de los cuales se encuentran los de Taylor como los más utilizados.

Dada la función f(x)=e^x ó Cos x, construimos un polinomio de Taylor lineal P₁(x) que imite el comportamiento de la función f(x) en algún punto x=a del dominio y sea casi igual a los puntos cercanos a x=a.

P₁(x)= b₁ + b₂(x-a)

Para determinar los coeficientes b₁ y b₂ de manera única en el punto x=a, hacemos:

P₁(a)= f(a)                   

P₁´(a)= f ´(a)                 (1)

Por lo que se puede verificar que el polinomio tiene una única forma:

P₁(x)= f(a)+(x-a)f ´(a)                 (2)

Por lo que la gráfica de y= P₁(x) es tangente a aquella de y= f(x) en x=a.

CONCLUSION:

(2) es un Polinomio de Taylor de orden 1 en x=a para aproximar a f(x) por medio de la Tangente.

EJEMPLOS:

1.- Encuentre P₁(x) en a=1 para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0,9) y Ln(1,5).

Solución:

P₁(x)=f(a)+f ´(a)(x-a)                  f(x)=Ln xà f(1)=Ln(1) = 0                     f ´ (x)= 1 àf ´ (1)= 1 =1

P₁(x) =0+1(x-a)  à P₁(x)= (x-1)                                                                      x             (1)

P₁ (0,9)= 0,9-1 = -0,1                 Ln(0,9) = -0,1053

P₁ (1,5)= 1,5-1 = 0,5                  Ln(1,5) = 0,4054

Ln x = (x-1)

Obtención de un Polinomio de Taylor de Orden 2.

f(x) = e^x                        a=0

f(0) = e⁰ = 1      f ´(0) = e⁰= 1

           

En general, podemos aproximar a f(x) en x=a a polinomios que cumplan con las condiciones siguientes:

P_n^(j)(a) = f^(j)(a)               con j=1,2,..,n

donde: f^(j)(x) es la j-ésima derivada de f(x) en x=a. Entonces:

R_n(x)es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

donde z es un número entre a y x ( se llama residuo después de n +1 términos.)

La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0

Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales
f_(x) = e^x esta función puede derivarse infinitamente ( derivadas de cualquier orden)
Desarrollemos Taylor para a = 0 ( a en este caso vale cero )

f₍₀₎ = e⁰ = 1, f’₍₀₎ = e⁰ = 1, f"₍₀₎ = e⁰ = 1, .... f ⁿ₍₀₎ = e⁰ = 1, f ⁿ⁺¹_(z) = e^z (0 < z < x)

Calculemos e^x para x = 1 hasta n = 6 (grado 6º ) así tenemos:

Para hallar el error utilizaremos el resto, R_n = 

Tengamos en cuenta que e⁰ = 1 y e¹ = 2,71828, así que e^x < 3 (es el límite, por lo que suplantaremos e^z por 3 ) así que:

Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n = 7 de esa manera:

Nota: otras formulas a utilizar para la resolución del teorema de taylor:  

P(1)= f(a)+ f '(a). (x-a)

                  1!

P(2)= f(a)+ f '(a). (x-a)+ f ''(a). (x-a)²       

                                            2!
P(n)= f(a)+ f '(a). (x-a)+ f ''(a). (x-a)²  +…+f ⁿ(a). (x-a)ⁿ

                                             2!                            n!            

Pasos para resolver polinomio de taylor con las formulas establecidas anteriormente.

• Formular el polinomio
• Buscar el valor de "h"
• Calcular el valor verdadero del polinomio
• Calcular su derivada y evaluar con el valor de "a"
• Evaluar los polinomios (Calcular la f(a))
• Calcular el error verdadero (Ev= Vv-aprox). 

EJERCICIO PROPUESTO

1.- Úsese los términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función    f(x)=-0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2    desde xi=0 con h=1. Esto es predecir el valor de la función en xi+1=1. Evalúe los errores verdaderos en cada aproximación.