Obtención de un Polinomio de Taylor de Orden 2.

f(x) = e^x                        a=0

f(0) = e⁰ = 1      f ´(0) = e⁰= 1

           

En general, podemos aproximar a f(x) en x=a a polinomios que cumplan con las condiciones siguientes:

P_n^(j)(a) = f^(j)(a)               con j=1,2,..,n

donde: f^(j)(x) es la j-ésima derivada de f(x) en x=a. Entonces:

R_n(x)es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

donde z es un número entre a y x ( se llama residuo después de n +1 términos.)

La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0

Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales
f_(x) = e^x esta función puede derivarse infinitamente ( derivadas de cualquier orden)
Desarrollemos Taylor para a = 0 ( a en este caso vale cero )

f₍₀₎ = e⁰ = 1, f’₍₀₎ = e⁰ = 1, f"₍₀₎ = e⁰ = 1, .... f ⁿ₍₀₎ = e⁰ = 1, f ⁿ⁺¹_(z) = e^z (0 < z < x)

Calculemos e^x para x = 1 hasta n = 6 (grado 6º ) así tenemos:

Para hallar el error utilizaremos el resto, R_n = 

Tengamos en cuenta que e⁰ = 1 y e¹ = 2,71828, así que e^x < 3 (es el límite, por lo que suplantaremos e^z por 3 ) así que:

Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n = 7 de esa manera: