POLINOMIO DE TAYLOR

El Teorema de Taylor es una herramienta fundamental, útil y necesaria para el desarrollo y la comprensión de la mayoría de los métodos numéricos que vamos a estudiar.

Si P es una función polinómica

P(x)=a_o+a₁x+…+a_nxⁿ

Entonces P(x) puede calcularse fácilmente cualquiera sea el número x. Pero la mayoría de las funciones matemáticas no se pueden evaluar en términos de las operaciones elementales aritméticas, por ejemplo:

f(x) = Cos x ó f(x)= Ln x, las cuales no pueden ser evaluadas sin el uso de una calculadora o mejor aún, de una computadora.

Para poder evaluar este tipo de funciones usamos funciones f*(x) casi iguales a f(x), que son fáciles de evaluar. Las f*(x) más comunes son los polinomios dentro de los cuales se encuentran los de Taylor como los más utilizados.

Dada la función f(x)=e^x ó Cos x, construimos un polinomio de Taylor lineal P₁(x) que imite el comportamiento de la función f(x) en algún punto x=a del dominio y sea casi igual a los puntos cercanos a x=a.

P₁(x)= b₁ + b₂(x-a)

Para determinar los coeficientes b₁ y b₂ de manera única en el punto x=a, hacemos:

P₁(a)= f(a)                   

P₁´(a)= f ´(a)                 (1)

Por lo que se puede verificar que el polinomio tiene una única forma:

P₁(x)= f(a)+(x-a)f ´(a)                 (2)

Por lo que la gráfica de y= P₁(x) es tangente a aquella de y= f(x) en x=a.

CONCLUSION:

(2) es un Polinomio de Taylor de orden 1 en x=a para aproximar a f(x) por medio de la Tangente.

EJEMPLOS:

1.- Encuentre P₁(x) en a=1 para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0,9) y Ln(1,5).

Solución:

P₁(x)=f(a)+f ´(a)(x-a)                  f(x)=Ln xà f(1)=Ln(1) = 0                     f ´ (x)= 1 àf ´ (1)= 1 =1

P₁(x) =0+1(x-a)  à P₁(x)= (x-1)                                                                      x             (1)

P₁ (0,9)= 0,9-1 = -0,1                 Ln(0,9) = -0,1053

P₁ (1,5)= 1,5-1 = 0,5                  Ln(1,5) = 0,4054

Ln x = (x-1)